Главная >> Геометрия 7—9 классы. Атанасян

Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника

Дополнительные задачи к главе IV

296. В равнобедренном треугольнике АВС биссектрисы равных углов В и С пересекаются в точке О. Докажите, что угол ВОС равен внешнему углу треугольника при вершине В.

297. На стороне AD треугольника ADC отмечена точка В так, что BC = BD. Докажите, что прямая DC параллельна биссектрисе угла АВС.

298. На рисунке 145 AD || BE, АС = AD и ВС = ВЕ. Докажите, что угол DCE — прямой.

    рис. 145

299. На рисунке 146 АВ = АС, АР = PQ = QR = RB = BC. Найдите угол А.

300. Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведённой из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведённых из вершин острых углов, — на продолжениях сторон.

301. Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные АМ1 и АМ2. Докажите, что:

    а) если НМ1 = НМ2, то АМ1 = АМ2;
    б) если НМ1 < НМ2, то АМ1 < АМ2.

302. Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные АМ1 и АМ2. Докажите, что:

    а) если АМ1 = АМ2, то НМ1 = НМ2,
    б) если АМ1 < AM2, то НМ1 < НМ2.

303*. Докажите, что в треугольнике АВС медиана AM меньше полусуммы сторон АВ и АС.

304*. Докажите, что если точка М лежит внутри треугольника АВС, то МВ + МС < АВ + АС.

305. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.

306. Докажите, что если АВ = АС + СВ, то точки А, В и С лежат на одной прямой.

307. В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. Докажите, что данный треугольник и два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы.

308. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС, равным 37 см, внешний угол при вершине В равен 60°. Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ.

309. В треугольнике с неравными сторонами АВ и АС проведены высота АН и биссектриса AD. Докажите, что угол HAD равен полуразности углов В и С.

310. Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведённые к равным сторонам, равны.

311. Что представляет собой множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от двух данных пересекающихся прямых?

312. Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне. Докажите, что этот отрезок меньше большей из двух других сторон.

313*. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

314. Постройте прямоугольный треугольник по:

    а) гипотенузе и острому углу;
    б) катету и противолежащему углу;
    в) гипотенузе и катету.

Окончание >>>

 

 

???????@Mail.ru